Замкнутая ломаная линия — определение, свойства и примеры исследования. Научные статьи

Замкнутая ломаная линия представляет собой фигуру, состоящую из нескольких проследовательных звеньев, называемых сегментами. Каждое звено соединяет две смежные вершины ломаной, и они образуют углы, называемые углами ломаной.

Ломаная линия может состоять из нескольких вершин и сегментов, а также иметь определенную длину. Если вершины последовательности образуют замкнутую ломаную, то каждая вершина, кроме первой и последней, является смежной с двумя другими вершинами. Такие ломаные могут быть представлены в виде многоугольников.

Например, рассмотрим ломаную линию ABCD, состоящую из четырех звеньев A_1A_2, A_2A_3, A_3A_4, A_4A_1, где A_1, A_2, A_3, A_4 — вершины. Эта замкнутая ломаная представляет собой четырехугольник ABCD. Существует теорема, которая гласит, что если на плоскости заданы пять точек A_1, A_2, A_3, A_4, A_5, и если отрезки A_1A_2, A_2A_3, A_3A_4, A_4A_5, A_5A_1 не пересекаются, то цепь A_1A_2A_3A_4A_5 образует замкнутую ломаную длины L, больше суммы длин пяти отрезков.

Замкнутая ломаная линия: определение, свойства, примеры

В геометрии замкнутой ломаной линией называется ломаная, в которой последняя вершина соединена с первой вершиной. То есть, все вершины ломаной соединены последовательными отрезками и образуют замкнутую фигуру.

Замкнутая ломаная линия состоит из различных отрезков, которые соединяют соседние точки. Обозначим вершины ломаной линии как A₁, A₂, …, A_n, где n — количество вершин.

Особенностью замкнутой ломаной линии является то, что у неё есть определенная длина. Длина ломаной может быть найдена суммированием длин всех её отрезков.

Есть несколько типов замкнутых ломаных линий в геометрии, каждая из которых имеет свои свойства и особенности:

• Простая ломаная линия: состоит из всех различных отрезков, причем ни один отрезок не пересекается сам с собой;
• Выпуклая ломаная линия: все углы между смежными отрезками не превышают 180 градусов;
• Самопересекающаяся ломаная линия: содержит хотя бы одну точку пересечения отрезков между собой;
• Многоугольник: замкнутая ломаная линия с пятью и более вершинами.

Рассмотрим пример замкнутой ломаной линии. Пусть у нас есть замкнутая ломаная линия A₁A₂A₃A₄A₅, где длина отрезков равна a₁a₂, a₂a₃, …, a₄a₅. В таком случае, мы имеем пять вершин и пять отрезков, которые соединяются смежными точками. Эта замкнутая ломаная линия имеет свою уникальную форму и может быть изображена графически.

Также, в геометрии существует теорема, которая утверждает: если на плоскости даны n различных точек, то всегда существует замкнутая ломаная линия, проходящая через все эти точки. Доказательством этой теоремы служат различные примеры замкнутых ломаных линий, которые можно построить в пространстве.

Научные статьи

Одним из геометрических объектов, которым уделяется внимание в научных статьях, является замкнутая ломаная линия. Замкнутая ломаная линия — это фигура, состоящая из последовательности отрезков, которые соединяются в точках вершин.

Замкнутая ломаная линия может иметь различные вариации в зависимости от своей формы и особенностей. Каждый отрезок в ломаной линии называется стороной, а точки, в которых отрезки пересекаются, называются вершинами ломаной. Замкнутая ломаная линия также может быть самопересекающейся, то есть содержать точки пересечения между соседними отрезками.

Определение замкнутой ломаной линии также включает требование, чтобы начало и конец линии лежали в одной и той же точке. Поэтому замкнутую ломаную линию можно обозначить как a_1a_2a_3…a_na_1, где a_1 и a_n — вершины, лежащие в одной точке. Точка, в которой начинается и заканчивается замкнутая ломаная линия, называется началом и концом ломаной.

В геометрии существует несколько видов замкнутых ломаных линий. Один из примеров такой фигуры — трапеция, которая состоит из четырех отрезков, выпуклые ломаные линии и многоугольники — это разновидность замкнутых ломаных линий.

Особенностью замкнутой ломаной линии является то, что она имеет конечное число вершин и отрезков. Длина замкнутой ломаной линии определяется как сумма длин всех отрезков, из которых она состоит.

В научных статьях рассмотрим различные геометрические свойства замкнутых ломаных линий и их вариаций. Будет проиллюстрировано, как выглядит каждый вид ломаной линии и как он может быть представлен в виде последовательных отрезков, соединяющих вершины ломаной.

Таким образом, научные статьи представляют собой важный источник информации о различных геометрических фигурах, включая замкнутые ломаные линии, и изучении их свойств. Прочитав такую статью, вы сможете лучше понять, как замкнутая ломаная линия выглядит и какие свойства характеризуют эту геометрическую фигуру.

Линия

В случае замкнутой ломаной линии, последнее звено лежит поверх первого, образуя замкнутую фигуру. Ломаные могут быть как незамкнутыми, так и замкнутыми.

Замкнутые ломаные имеют несколько особенностей. Самопересекающаяся ломаная — это такая ломаная, которая пересекает сама себя. Если все звенья замкнутой ломаной линии лежат на одной прямой, то она называется вырожденной. Замкнутые ломаные, у которых все звенья выпуклого многоугольника лежат на одной окружности, называются вписанными.

Еще одна интересная особенность замкнутых ломаных заключается в том, что они могут состоять из звеньев, являющихся трапециями. Трапеции в данном контексте это линии, которые состоят из двух параллельных и двух непараллельных сторон.

Основное определение замкнутой ломаной линии состоит в том, что все ее звенья изображены без самопересечений, и они соединяются в вершинах. Также сама ломаная может быть называна как незамкнутая, если первая и последняя точки не соединяются.

Для обозначения вершин замкнутых ломаных, иногда используется буквенное обозначение. Например, ломаную с вершинами A, B, C, D можно обозначить как ABCD. Невырожденная замкнутая ломаная имеет не менее 3 звеньев.

Тип ломаной линии	Описание	Пример
Отрезок	Простейший тип ломаной линии, состоящей из двух точек, которые соединяются прямой линией.	AB
Прямая линия	Ломаная линия, состоящая из нескольких звеньев, которые лежат на одной прямой.	a1a2a3a4a5a6a7
Замкнутая ломаная линия	Ломаная линия, у которой первая точка связана с последней точкой, образуя замкнутую фигуру.	ABCD
Вырожденная ломаная линия	Замкнутая ломаная линия, у которой все звенья лежат на одной прямой.	abcd
Самопересекающаяся ломаная линия	Ломаная линия, которая пересекает сама себя.	ABACB

Смежные звенья ломаной

Ломаная линия, как уже было сказано, представляет собой незамкнутую линию, состоящую из отрезков, которые соединяются последовательными вершинами. Каждое звено ломаной называется отрезком или звеном. Если все звенья ломаной лежат на прямой, то эта ломаная называется вырожденной или прямой.

Типы всех вырожденных ломаных:

• Точка: ломаная с одной вершиной;
• Отрезок: ломаная, состоящая из двух вершин, которые являются соединительными точками;
• Треугольник: ломаная, состоящая из трех вершин, которые соединяются углами;
• Четырехугольник: ломаная, состоящая из четырех вершин, которые соединяются пятью звеньями;
• Пятиугольник: ломаная, состоящая из пяти вершин, которые соединяются шестью звеньями.

Если на ломаной есть самопересечения, то она называется самопересекающейся. Примером такой фигуры может быть трапеция, у которой ее нижнее основание пересекает саму себя. Последовательные звенья самопересекающейся ломаной называются смежными. Например, в ломаной a_1a_2a_2a_3a_4 самопересекающимися являются звенья a_4a_5 и a_2a_3.

Ломаная с самопересечением

В геометрии существуют различные виды ломаных, и одним из них является самопересекающаяся ломаная. Такая ломаная состоит из нескольких отрезков, часть которых самопересекаются друг с другом. Незамкнутые ломаные могут иметь такие точки самопересечения, что первая из них называется ломаной с самопересечением.

Самопересекающиеся ломаные могут иметь разные варианты и формы. Одним из примеров такой ломаной является геометрическая фигура, изображенная на рисунке, где каждая сторона, например, a_3a_4, больше звена a_4a_5.

a_1a_2

a_2a_3

a_3a_4

a_4a_5

a_5a_6

a_6a_7

Точки самопересечения ломаной между смежными отрезками называются смежными точками самопересечения. Место, где смежные отрезки пересекаются друг с другом, можно найти по различным причинам. Длина отрезка a_4a_5, например, больше длины звена a_4a_5. Также простая ломаная с самопересечением может быть сложена из невырожденных замкнутых ломаных линий. В данном случае невырожденная замкнутая ломаная линия будет иметь конечное число точек самопересечения, составляющих смежные отрезки.

Таким образом, ломаная с самопересечением — это ломаная линия, который имеет точки самопересечения с ее собственными отрезками. Она может быть представлена как замкнутая ломаная линия, в которой некоторые отрезки параллельны. Существуют различные виды таких ломаных, и примером одного из них является геометрическая фигура, состоящая из отрезков a_1a_2, a_2a_3, a_3a_4, a_4a_5, a_5a_6, a_6a_7.

Типы ломаных линий

Существует много разновидностей ломаных линий, в зависимости от их свойств и формы. Например, простая ломаная – это ломаная линия, у которой нет самопересечений. У простой ломаной каждые две смежные стороны не пересекаются. Еще одним примером является ломаная линия, состоящая из пяти сторон, которую называют пятиугольником или пентагоном. Длина каждого звена в этой ломаной может быть разной. Если длина каждого звена одинаковая, то такую ломаную называют равносторонней.

Замкнутые ломаные линии также имеют свои особенности. Например, если замкнутая ломаная состоит из четырех сторон, то она называется четырехугольником или квадратом. Если же замкнутая ломаная состоит из семи сторон, то она называется семиугольником или гептагоном.

Таким образом, типы ломаных линий определяются по их форме, количеству сторон и длине звеньев. Каждый тип ломаной линии имеет свои характеристики и свойства. На рисунке изображены некоторые виды ломаных линий, включая простую ломаную, пятиугольник и замкнутую ломаную с самопересечением. Также рассмотрим особенности ломаных линий и методы их измерения, а также примеры применения в геометрии, например, в построении трапеций.

Особенности замкнутых линий

Основные особенности замкнутых линий:

1. Составляют многоугольник

В геометрии замкнутая ломаная составляет многоугольник. Многоугольник, образованный замкнутыми ломаными, имеет определенное количество сторон и углов. Количество сторон равно количеству звеньев, а количество углов зависит от количества сторон и формы многоугольника. Например, треугольник имеет 3 стороны и 3 угла, а пятиугольник имеет 5 сторон и 5 углов.

2. Могут быть самопересекающимися

Замкнутая ломаная может быть самопересекающейся, то есть иметь пересечения между своими звеньями. В таких случаях части ломаной могут лежать внутри другой части. Например, ломаная, изображенная на рисунке, является самопересекающейся.

3. Могут иметь незамкнутые части

Замкнутая ломаная может также иметь незамкнутые части, то есть участки, которые не соединяются со следующим звеном ломаной, а заканчиваются свободно. Невырожденная замкнутая ломаная имеет только одну незамкнутую часть. Например, ломаная a₄a₅ на рисунке имеет незамкнутую часть.

4. Существует несколько типов замкнутых линий:

• Простая замкнутая ломаная – все ее звенья являются простыми отрезками и не пересекаются.
• Самопересекающаяся замкнутая ломаная – имеет самопересечения между своими звеньями.
• Смежные замкнутые ломаные – состоят из двух или более замкнутых ломаных, каждое из которых является звеном другого.
• Геометрическая фигура – образуется при соединении замкнутых ломаных.

Замкнутая ломаная – это важное понятие в геометрии, которое имеет свои особенности и играет роль при решении различных задач и построении фигур.

Многоугольник как разновидность замкнутой ломаной

Выпуклый многоугольник

Выпуклый многоугольник – это многоугольник, все внутренние углы которого меньше 180 градусов. Все стороны выпуклого многоугольника лежат в одной плоскости, и никакие две стороны не пересекаются.

Самопересекающийся многоугольник

Самопересекающийся многоугольник – это многоугольник, у которого некоторые из его сторон пересекаются друг с другом. Такие многоугольники могут иметь как вогнутые, так и выступающие углы.

Многоугольник можно изображать графически, указывая последовательность вершин и соединяя их отрезками. Например, многоугольник можно обозначать как a₁a₂a₃…a_na₁, где a₁, a₂, a₃, …, a_n – вершины, расположенные последовательно.

Многоугольникы могут быть различной формы и иметь различное количество сторон. Например, треугольник – это многоугольник, имеющий три стороны и три вершины. Четырехугольник состоит из четырех сторон и четырех вершин, и так далее.

Многоугольники в геометрии имеют много свойств и особенностей, и они широко применяются в практических задачах и задачах решения проблем. Они могут иметь как простые, так и сложные формы, и каждый многоугольник имеет определенные свойства, которые могут быть использованы в анализе и изучении геометрических объектов.

Длина ломаной

Длина замкнутой ломаной определяется как сумма длин всех ее звеньев. Замкнутые ломаные имеют свои особенности в определении длины, поскольку их начало и конец совпадают. Если имеется незамкнутая ломаная, которая состоит из нескольких линий, то каждая из этих линий имеет свою длину. Такую ломаную называют невырожденной.

Предположим, у нас есть замкнутая ломаная A, состоящая из звеньев a₁a₂, a₂a₃, …, a_n-1a_n, a_na₁. Тогда длина ломаной A вычисляется по формуле:

Длина(A) = длина(a₁a₂) + длина(a₂a₃) + … + длина(a_n-1a_n) + длина(a_na₁)

Для незамкнутой ломаной, состоящей из линий a₁a₂, a₂a₃, …, a_n-1a_n, длина вычисляется как сумма длин каждой линии:

Длина(A) = длина(a₁a₂) + длина(a₂a₃) + … + длина(a_n-1a_n)

Каждое звено ломаной представляет собой отрезок, соединяющий две точки — вершины ломаной. Таким образом, длина звена равна расстоянию между этими двумя точками в геометрическом пространстве. Если у нас есть выпуклый многоугольник P с вершинами a₁, a₂, …, a_n, то длина ломаной a₁a₂a₃…a_n будет равна периметру многоугольника P.

Рассмотрим разновидности ломаных:

1) Замкнутые ломаные

Замкнутая ломаная — это ломаная, у которой начало и конец совпадают, то есть последняя вершина совпадает с первой. Такая ломаная может иметь самопересечения, а также может быть невырожденной.

2) Незамкнутые ломаные

Незамкнутая ломаная — это ломаная, у которой начало и конец не совпадают. Каждое звено такой ломаной является независимой линией. Такая ломаная не имеет самопересечений и не является невырожденной.

Таким образом, длина ломаной зависит от ее типа и составляет сумму всех длин ее звеньев. Незамкнутые ломаные имеют меньшую длину, поскольку они не содержат последнее звено, соединяющее последнюю вершину с началом ломаной.

Видео:

Математика 2 класс (Урок№13 — Длина ломаной. Закрепление.)

Математика 2 класс (Урок№13 — Длина ломаной. Закрепление.) by LiameloN Animation 47,698 views 3 years ago 3 minutes, 11 seconds