Определение и значение числа решений в системе уравнений
Методом Гаусса можно найти количество решений системы уравнений и их значение. Для этого необходимо решить систему уравнений в матричной форме, используя элементарные преобразования строк. На первом этапе приводим систему к ступенчатому виду, где в первых строках матрицы стоят не нули, а в последующих — нули.
Полученную ступенчатую матрицу перепишем так, чтобы каждое уравнение содержало только одну базисную переменную. Если количество базисных переменных меньше числа уравнений системы, то имеем бесконечное количество решений. Если в свободной строке матрицы есть ненулевое значение, то система уравнений несовместна и не имеет решений.
Если все строки матрицы равны нулю, то система либо имеет только одно решение, либо более одного решения. Чтобы это определить, каждую свободную переменную представим в виде частного двух выражений, одно из которых пропорционально соответствует базисным переменным, а второе — содержит только свободные переменные. Подставляем полученные выражения в исходную систему уравнений и исследуем полученные уравнения.
В итоге, количество решений системы уравнений и их значение зависят от ступенчатого вида матрицы и свободных переменных. Обратите внимание, что в решении могут присутствовать и частные случаи, и общее решение. Количество решений может быть строго больше, строго меньше или равно числу неизвестных переменных в системе.
Определение числа решений
При решении системы уравнений необходимо определить количество решений. Число решений может быть разным для каждого уравнения. Для каждой переменной может быть много значений, и если таких значений более одного, то система имеет бесконечное множество решений.
Чтобы определить количество решений системы уравнений, обратимся к методу приведения системы к расширенному виду или методу строчных преобразований.
Система уравнений может иметь одно решение, если все уравнения выполнены и свободные члены в расширенной матрице отличаются от нуля.
Если одно из уравнений системы является линейно зависимым или некоторые строки системы линейно зависимы между собой, то система будет иметь бесконечное множество решений.
Также система может иметь ноль решений, если в результате приведения появятся противоречащие уравнения или уравнения, которые имеют нулевые строки до конца приведенной матрицы.
При решении системы уравнений можно использовать различные методы, например, метод подстановки или метод исключения.
Дополнительную проверку решения системы можно провести, подставив найденные значения переменных в исходные уравнения и проверив их равенство с левой частью. Если равенство выполняется, то решение верное.
Значение числа решений
При решении систем уравнений важную роль играет число решений, которое может быть разным в зависимости от свойств системы. Рассмотрим несколько случаев:
- Если система несовместна, то у нее нет решений. Это означает, что уравнения противоречат друг другу и невозможно найти такие значения переменных, при которых все уравнения выполняются.
- Если система совместна и имеет единственное решение, то она называется определенной системой. В этом случае существует единственная точка пересечения всех уравнений системы, которая и является решением.
- Если система совместна и имеет бесконечное число решений, то она называется неопределенной системой. В этом случае уравнения системы задают некоторую линейную зависимость между переменными, и любая точка прямой, определенной этой зависимостью, будет решением системы.
Для определения числа решений системы уравнений можно использовать метод Гаусса, который позволяет привести систему к ступенчатому виду. При этом мы фиксируем базисные переменные, которые связаны с уравнениями, входящими в систему, и определяем количество свободных переменных, которые могут принимать произвольные значения.
Число ступенек в ступенчатом виде системы соответствует числу линейно независимых строк в исходной системе. Если количество ступенек равно числу неизвестных, то система имеет единственное решение. В случае, когда количество ступенек меньше числа неизвестных, система имеет бесконечное число решений.
Таким образом, понимание значения числа решений системы уравнений позволяет более полно анализировать их свойства и находить оптимальные решения для конкретных задач.
Решение систем линейных уравнений
При решении систем линейных уравнений важно определить число решений и найти их значения. Рассмотрим, как это делается.
Представим систему уравнений в виде матрицы, где каждая строка соответствует уравнению, а каждый столбец — переменной. С помощью преобразований строк можно привести матрицу к ступенчатому виду, либо к форме, где некоторые строки полностью пропорциональны друг другу.
Приведенная система может иметь одно решение, если число ступенек равно числу переменных и все свободные переменные равны нулю. Она также может иметь бесконечное число решений, если есть свободные переменные. Если система имеет меньше ступенек, чем переменных, то она несовместна и не имеет решений.
Рассмотрим пример системы линейных уравнений:
2х + 3у = 7
5х + у = 11
Запишем данную систему в виде матрицы:
2 3 | 7
5 1 | 11
Произведем преобразования строк:
— Умножим первую строку на 5 и вычтем из нее вторую строку, чтобы в левой части получить ступенчатый вид:
2 3 | 7
0 14 | 24
— Поделим вторую строку на 14, чтобы получить единичный коэффициент перед у:
2 3 | 7
0 1 | 24/14
— Приведем первую строку к первоначальному виду, вычтя из нее вторую строку, умноженную на 3:
2 0 | 7 — 3(24/14)
0 1 | 24/14
Теперь система имеет ступенчатый вид:
2 0 | …
0 1 | 24/14
На первой ступеньке стоит переменная х, на второй — переменная у.
Для нахождения решения системы обратите внимание, что первая переменная может быть выражена через вторую. Для этого в первую строку прибавим вторую, умноженную на 2:
2 0 | … + (0 1 | 24/14) * 2
2 0 | … + (0 2 | 48/14)
Теперь первая переменная выражена через вторую:
2 0 | … + (0 2 | 48/14)
1 0 | …
Таким образом, получена система с одним решением:
2х + 2у = 48/14
х = …
Дальше можно найти значение первой переменной и проверить решение системы методом подстановки. Если после подстановки решения получаются равные выражения в левой и правой частях уравнения, то решение верное.
Итак, мы рассмотрели пример решения системы линейных уравнений и акцентировали внимание на важных шагах и выражениях, которые были выполнены при процессе решения. Мы убедились, что в результате все переменные были выражены и решение подставлено для проверки.
Запомните, что при решении систем линейных уравнений нужно быть внимательным и аккуратным, следить за каждым шагом и правильно применять преобразования строк, чтобы получить правильный и верный результат.
Несовместные системы
Несовместная система – это такая система линейных уравнений, у которой нет решений. То есть не существует такого набора значений переменных, при котором все уравнения системы были бы выполнены.
Как найти несовместные системы? Для этого приведем систему к ступенчатому виду. Запишем систему в виде матрицы, где в первом столбце будут коэффициенты при переменных, а в последнем столбце – константы. Далее, применяя элементарные преобразования для строк матрицы, приведем ее к ступенчатому виду.
Если в ступенчатой матрице есть строка, состоящая только из нулей и соответствующее ей уравнение имеет какое-то ненулевое число справа от знака равенства, то система является несовместной.
Пример. Пусть дана следующая система:
2x + 3y = 5
4x + 6y = 9
Приведем матрицу системы к ступенчатому виду:
2x + 3y = 5
0x + 0y = -1
Видим, что последняя строка имеет неравенство 0 = -1, что невозможно. Следовательно, система несовместна.
Ответ: несовместная система не имеет решений.
Системы с общим решением
Если мы рассмотрим систему уравнений, которая имеет количество уравнений, большее, чем количество неизвестных переменных, то есть, количество уравнений будет больше, чем количество строк в расширенной матрице системы, то такая система может иметь общее решение.
Чтобы определить, имеет ли система решение, а также найти это решение, мы делаем преобразования над строками расширенной матрицы системы. В результате таких преобразований мы получим матрицу, где первая (или первые несколько) строк является линейно независимой, а остальные строки будут состоять только из нулей.
Итак, в системе с общим решением, одна переменная может быть выражена через остальные переменные. После приведения системы к строгому уровню, мы можем переписать систему, используя только базисные переменные и их значения. Количество базисных переменных будет равно разности между общим количеством неизвестных переменных и количеством ненулевых строк в приведенной матрице.
Давайте рассмотрим пример. Пусть у нас есть система уравнений с тремя переменными и четырьмя уравнениями:
3x + 2y — z = 4
2x — 3y + 4z = -7
x + y + z = 2
2x + 3y — 2z = 5
Мы можем записать расширенную матрицу этой системы:
$$\begin{bmatrix} 3 & 2 & -1 & 4 \\ 2 & -3 & 4 & -7 \\ 1 & 1 & 1 & 2 \\ 2 & 3 & -2 & 5 \end{bmatrix}$$
Теперь мы приведем эту матрицу к строгому виду, сделав преобразования над строками:
$$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 2 \\ 2 & 3 & -2 & 5 \\ 3 & 2 & -1 & 4 \\ 2 & -3 & 4 & -7 \end{bmatrix}
ightarrow \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & -4 & 1 \\ 0 & 1 & -4 & -2 \\ 0 & -5 & 7 & -11 \end{bmatrix}
ightarrow \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & -4 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & -3 \\ 0 & 0 & -1 & -6 \end{bmatrix}
ightarrow \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & -4 & 1 \\ 0 & 0 & -1 & -6 \\ 0 & 0 & 0 & -3 \end{bmatrix}$$
В полученной приведенной матрице у нас есть две свободные переменные: z и одна из x или y.
Теперь мы можем переписать систему, используя только базисные переменные:
x = -6z + 2
y = 4z — 1
Таким образом, система имеет бесконечное количество решений, где x можно выразить через z, y можно выразить через z, и значение z может быть любым числом.
В системах с общим решением, как показано в данном примере, количество решений может быть много и значения переменных могут отличаться. Это означает, что система уравнений имеет бесконечное количество решений.
Частные решения
Если система уравнений имеет решение, то можно обратить внимание на значения переменных, найденные после элементарных преобразований уравнений. Каждой переменной может быть найдено единственное решение, если мы изначально уделим внимание методу записи решения.
В данном случае рассмотрим третью переменную, которая может быть найдена с помощью исходного уравнения, или после преобразований. Если она была найдена, то это значит, что есть хотя бы одно частное решение, и его можно записать таким образом:
Примеры
Допустим, мы исследуем систему уравнений с тремя переменными:
1) Уравнение: A1x + B1y + C1z = D1
2) Уравнение: A2x + B2y + C2z = D2
Если получилось найти более одного полного решения, то они могут отличаться только значениями переменных и не свободными частью уравнений. Таким образом, базисные переменные могут быть записаны в виде:
1) Частное решение: x = x0 + a1t, y = y0 + b1t, z = z0 + c1t
2) Частное решение: x = x0 + a2t, y = y0 + b2t, z = z0 + c2t
Здесь x0, y0, z0 — найденные значения переменных, a1, a2, b1, b2, c1, c2 — коэффициенты, зависящие от базисных переменных, и t — произвольная переменная.
Ступенчатому виду матрицы системы уравнений соответствуют ступеньки. Если в одном столбце находится базисная переменная, то в другом столбце должна быть свободная переменная. Если базисная переменная включает свободную, то решение не может быть найдено.
Также обратите внимание, что значения базисных переменных могут быть найдены снова через уравнение, зависящее от третьей переменной.
Видео:
Cистемы уравнений. Разбор задания 6 и 21 из ОГЭ. | Математика
Cистемы уравнений. Разбор задания 6 и 21 из ОГЭ. | Математика by TutorOnline — уроки для школьников 1,115,273 views 5 years ago 16 minutes